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Pensiero matematico

(una visione assoluta)

 

& – La matematica  non si chiede mai quale sia l’essenza particolare delle cose che studia – ciò che la interessa sono solo le relazioni che corrono fra le forme prese in considerazione.  Le une sono definite per mezzo delle altre, mai indipendentemente l’una dall’altra (SFM IV).

& – Senza dubbio la costruzione e la dimostrazione matematica – dice Hegel – contengono qualche proposizione vera, ma si deve anche affermare decisamente che il contenuto è falso.
& – Ora la matematica ha un senso quando pone in rapporto oggetti con qualità omogenee, oggetti che nel «processo quantitativo», nel rapporto cioè fra le quantità di queste qualità omogenee, non mutino in qualche modo di qualità.  Il processo matematico, compreso ogni tipo di algoritmo, in altre parole, non avverte il mutamento di qualità che avviene nel processo reale delle quantità considerate se questo mutamento non è stato già posto nello stesso algoritmo. 

 

[Hegel, il pensiero comune e il pensiero matematico]

Il pensiero matematico – come il pensiero filosofico – partono dal pensiero comune.  Il pensiero comune si basa sull’evidenza e sul noto. Ambedue immediati e intuitivi.  Di solito è evidente ciò che è noto. L’evidenza è intuitiva e il noto è immediato.

La scienza positiva critica il pensiero comune - dal quale parte - e contemporaneamente matematizza la logica, «riorganizza» la matematica e formalizza, assiomatizzandolo il linguaggio.  Critica in altre parole la forma logica del pensiero, ma non le unità che lo formano, cioè le parole.  Quindi non critica né analizza il contenuto delle parole.  Si limita a limitarlo (con la formalizzazione del linguaggio).  Accetta, in altri termini, del pensiero comune di nuovo i contenuti concettuali singoli (parole) in maniera sostanzialmente acritica.  Non a caso i matematici si rendono conto regolarmente con grande ritardo che i loro «processi di rigorizzazione», come li chiamano, poggiano su basi intuitive, cioè, almeno dal loro punto di vista, nulla posseggono di rigoroso.

Al contrario Hegel accetta tutte le forme logiche concettuali del pensiero comune.  Le analizza e le critica (quindi le trasforma).  Ne scopre e ne rivela l’accumulo di sapere che esse contengono – fa coincidere la logica con la storia della logica (sempre criticamente), con la storia, cioè, della formazione della logica e rifonda il pensiero sulla scorta del pensiero comune superato (vedi anche @MAD).

 

[relazione fra la logica e la matematica]

La logica nasce dalla logica matematica. È il ragionamento matematico che è di per sé logico. E la logica filosofica è un’estrapolazione della logica matematica. In un secondo tempo, partita dalla matematica, la logica quale scienza pura della filosofia, darà il suo contributo alla logica matematica concorrendo al suo sviluppo.

Il metodo assiomatico strettamente legato al sistema deduttivo si fonda sulla convinzione che l’intelligenza intuiva rifletta la realtà. L’intelligenza immediata, cioè l’intuizione. È questa la fonte dell’idealismo.

Approfondendo, l'idealismo sostiene che l’intuizione, l’intelligenza umana immediata, più che riflettere la realtà, la fonda. Hegel porterà, attraverso una complessa analisi, questa concezione al suo massimo sviluppo.

Fondare è quella operazione con la quale la logica umana penetra la logica del reale. Sia se come vogliono gli idealisti è il pensiero umano a fondare la realtà, sia se come vogliono i materialisti dialettici è la realtà il fondamento del pensiero. Sia in un caso sia nell'altro, il rapporto fra pensiero e realtà deve essere fondato. È cioè risultato di una penetrazione del pensiero nella realtà o della realtà nel pensiero. Risultato ottenuto per mezzo di una riflessione che dà un fondamento all’analisi umana della realtà sotto esame. Garantisce ciò che fino a quel momento l’analisi umana ha raggiunto. Il massimo di coscienza possibile nell’individuare la realtà osservata.

Si sostiene (BMM/24) che con il metodo assiomatico ciò che si guadagna in purezza, si perde in intelligibilità. D’altra parte lo stesso concetto di «evidenza» – che costella le analisi lomat (logico matematiche) –  trae la sua ragione di essere dall’esperienza sedimentata ma non colta (voce del verbo cogliere), non hegelianamente fondata, ricavata nell’osservare la realtà, appartenente cioè "al mondo della vita" /25/  (ago. 02 - cfr PSM/45).

 

[pensiero logico-matematico = lomat]

Mi rendo conto una volta di più dell'asfissia delle teorie matematico positiviste. Eccezionali nell'analisi dei fenomeni nella loro particolarità, si perdono al momento di passare alla teoria generale. È come se non riuscissero a liberarsi di una visione assoluta dei fenomeni. Da un lato ormai proclamano il trionfo del caso nei processi, dall'altro i loro ragionamenti non riescono ad accettare pienamente la casualità e le sue conseguenze. Intanto mancano del concetto di processo nel quale i vari fenomeni vanno ascritti. Con la conseguenza che i vari fenomeni tendono a trovare in sé stessi la propria ragion d'essere e a costituirsi quali fondamento primo dei fenomeni analizzati. Così il concetto di evoluzione permea di sé l'intero campo biologico, come d’altra parte il concetto di progresso (sviluppo) permea di sé ogni processo generale.

Per il materialismo dialettico evoluzione e progresso (quando le prende acriticamente in considerazione) sono tutto al più due caratteristiche del processo complessivo. Processo che non ha un fine (il fine del fine è il fine) pur essendo formato da una serie di fini particolari. Di conseguenza prende in considerazione l'evoluzione là dove l'evoluzione c'è, si verifica, e il progresso e lo sviluppo  là dove il progresso e sviluppo si manifestano. Consapevoli che le strutture nelle quali si svolgono sono quelle della neg-neg, del nuovo che conserva, della discontinuità relativa. Insomma, al momento, le regole individuate dal materialismo dialettico.

Al contrario il positivismo matematico, il lomat, di cui il neodarwinismo è pregno, mantiene quale suo riferimento, spesso non detto né dichiarato, sostanzialmente subconscio, il concetto, arcaico, di verità, che come tale è unica, sola e assoluta. Constatato un fenomeno, l'azione che lo produce, viene assolutizzata, e «deve» rientrare o «deve» dare vita a una legge che sia universalmente valida. È come se il riferimento non fosse la realtà, il reale, l'analisi concreta di come il fenomeno si manifesta e quale sia la sua relazione con il contesto considerato da un punto di vista fisico e oggettivo. Mentre ciò che conta è farlo rientrare in una serie di leggi che più che dalla realtà partono dalla nostra testa. Ripeto tutto questo sembra manifestarsi a livello subconscio, pensiero di riferimento a volte dichiaratamente negato. Negato ma dal quale non riescono a liberarsi.

Osservo invece che anche a livello biologico i concetti di riproduzione semplice e riproduzione allargata sono aderenti ai processi indagati. La logica del vivente segue a sua volta le regole della produzione e della riproduzione (da fpg 17.12.09).

 

[scienza, matematica e ma.dial]

In COS, P. Davies affronta il problema dell'assetto dell'universo in relazione alle ultime scoperte della fisica, dell'esaurimento della fisica classica, eccetera. D. è un fisico. La sua ipotesi è che al concetto dell'universo statico della fisica classica vada sostituito il concetto dell'universo dinamico. Dove dinamico sta per crescita, per organizzazione crescente, legge di complessità crescente, eccetera. Insomma con grande fatica - ma, va detto, con un controllo dei fenomeni fisici e matematici notevole - ci si avvicina a una concezione del mondo propria del materialismo dialettico. Probabilmente alcune intuizioni del ma.dial andrebbero riviste, precisate, organizzate di nuovo alla luce delle recenti riflessioni della scienza sulla materia, riflessioni che hanno alle spalle esperimenti scientifici. Tuttavia la riflessione più profonda e più vicina alla comprensione delle leggi dell'universo, sembra sempre più essere quella suggerita dal materialismo dialettico.

Un nodo rimane il controllo matematico. D. tenta di risolvere i problemi all'interno delle soluzioni matematiche e si attende che formule matematiche possano continuamente convalidare esperienze e intuizioni scientifiche. C'è da chiedersi. È la matematica in grado di cogliere le contraddizioni di un processo, chiamiamolo pure sistema, e il loro superamento in uno stadio superiore?  E la dialettica non è eliminata dalla scienza per via di questa carenza, limite, incomprensione della matematica?

Havemann in alcune significative pagine di DSD ha dato una dimostrazione, che è una proposta, di come la dialettica possa intervenire vantaggiosamente a favore della matematica e della fisica. E risolverne problemi altrimenti irrisolvibili.  

(da fpg 9.9.02) – Organizzare meglio le «scoperte» della matematica. Dagli algoritmi alla geometria proiettiva. Al digitale. Il digitale come risultato pone la matematica di nuovo al centro del pensiero logico. Rapporti fra matematica, mondo fisico, mondo biologico e mondo sociale. Fra lomat e ma.dial. Il campo del lomat e il campo del ma.dial. La questione va ridefinita.

 

[logica matematica e logica della realtà]

Dagli sviluppi della logica matematica dalla fine dell’Ottocento ai primi del Novecento (Cantor, Frege, Zermelo, Dedekind, Hilbert, Russel, eccetera) si capisce con sufficiente chiarezza come la «follia» della matematizzazione della scienza vada ricercata nel platonismo idealistico degli scienziati.  Qual è il loro assunto?  1° - che la logica sia al di fuori e al di sopra della realtà naturale e fisica.  2° - che il mondo delle idee sia indipendente dal mondo dell’esperienza nel senso che, semmai, lo precede e sia più «rigoroso» di quello.  È come se la realtà fisica riflettesse la logica umana e non il contrario. La logica umana riflette la logica fisica.

Tutto ciò è implicito nel pensiero matematico. Non proclamato. Al contrario si proclama l’opposto. E si porta in difesa della «materialità» del pensiero lomat e del suo ancoraggio alla realtà fisica del mondo, il primato dell’esperienza. Della prova sperimentale.

Ora la prova sperimentale a volte conferma a volte nega i risultati della logica matematica applicata alle leggi della fisica. La logica – non a caso – è il prodotto storico dell’evoluzione della natura, nel caso degli uomini è il riflesso della logica della natura nella loro testa. E siccome in qualche misura la logica dei numeri riflette la struttura dell’universo (vedi @PM2) è probabile che la logica dei numeri abbia attinenza con la logica dell’universo senza tuttavia esaurirla.

Questo è il punto. Non la esaurisce. E non per via dei parametri nascosti. Non la esaurisce per via dei limiti della logica matematica la quale si ferma a un certo livello della struttura del reale oltre la quale non va.

Non è questa tuttavia l'opinione dei logici matematici. Convinti del contrario. Convinti che la logica della realtà sia unicamente e principalmente matematica. Persuasione che impedisce al lomat di indagare oltre se stesso. A spingersi oltre.

No. Non riuscendo a far quadrare le leggi oltre il limite del metodo logico assunto, si sforzano di quadrarle aggiungendo regole logiche a regole logiche. Correggendo e rifacendo, rimasticando e tentando nello sforzo di accostarsi alla realtà. Di adeguare le loro leggi alla realtà o la realtà alle loro leggi. Indifferentemente. Con l’unico risultato di riflettere a volte solo la complicata linearità del pensiero e del linguaggio comune. 

Ora un pensiero che è andato oltre, esiste. Di nuovo, anche in questo senso, la dialettica materialista riesce a dare meglio conto della stessa complessità della matematica, del mondo fisico (cfr Havemann) e della corrispondenza fra esperienza umana e realtà fisico - naturale del mondo.

[leggi matematiche, leggi della materia e ma.dial]

Il problema è questo.  Incapaci di comprendere la «natura» dei fenomeni fisici, la scienza si limita a descriverne le caratteristiche. "Sacrifica" - come scrive M. Kline (MCP/66) - l’intelligibilità fisica a favore della descrizione e della previsione matematico - quantitativa.  Si trattava del dettato galileiano (64) di cercare descrizioni matematiche in luogo di spiegazioni fisiche.  Questo dettato venne fatto proprio da Newton che andò oltre e trasformò la funzione della matematica da strumento della descrizione fisica a fonte dei concetti fondamentali della fisica.  Così i concetti di forza, di gravitazione, di inerzia e altro non sono che nomi per formule - o simboli - matematici.  Noi, ora, conosciamo alcune leggi matematico - quantitative che regolano i rapporti dell’universo, ma nulla sappiamo dell’universo.  In questo senso la scienza moderna è profondamente kantiana (inconoscibilità della cosa in sé - leggi dell'universo).

Il tentativo di Havemann  è di passare dalla comprensione delle leggi matematiche alla comprensione delle leggi generali che regolano l’universo. Queste leggi - dice Havemann - sono dialettiche.  Il metodo dialettico è più di ogni altro in grado di cogliere nella loro profondità il contenuto di certe leggi universali dalle quali derivano sia quelle che organizzano il mondo fisico sia il mondo biologico e dell’organizzazione umana.  Mentre le leggi matematiche mal si addicono alle leggi sociali, politiche, economiche o psicologiche che regolano il corso del processo umano.  Le stesse formule matematiche possono essere meglio spiegate con il metodo ma.dial.

Allora. Le leggi della natura che conosciamo sono le leggi degli effetti dei rapporti fra le parti componenti la materia e anche  la parziale descrizione quantitativo matematica della struttura della materia.  Il fatto che non conosciamo i motivi o il motivo delle leggi ha come sua conseguenza che non riusciamo a capire le leggi interne della materia.  Non riusciamo a capire di cosa sia fatta la materia.  Atomi, quanti, eccetera.  Non sappiamo cosa siano le «forze».  Sappiamo che esistono e conosciamo alcuni effetti (che traduciamo in leggi) di questa loro esistenza.

(aprile 2007) – In altra parte ho avanzato l’ipotesi che questa ricerca delle leggi assolute possa essere  almeno in parte il riflesso duro a morire di una concezione magica della realtà. L’assoluto essendo in sé magico. Ma. La rinuncia alla ricerca dell’assoluto non deve portare alla rinuncia di individuare le sintesi e i «motivi» che corrono all’interno del reale. O la ricerca e l’individuazione di alcuni principi nel rapporto con la realtà che ne colgano i «motivi» essenziali (il lavoro umano nella determinazione del valore di scambio. Oppure il principio dell’equivalenza generale. O quelli della riproduzione semplice e della riproduzione allargata all’interno della produzione della materia &c.)

[matematica e realtà materiale]

Finisco il libro di Glymour sull’epistemologia (vedi §EPIS). Dovrò approfondire alcuni concetti. Appare chiaro tuttavia che l’ancoraggio della filosofia alla matematica, insieme alla ricerca della certezza del giudizio, abbia dato frutti pratici di tipo matematico (il calcolo infinitesimale, l’informatica, la statistica, eccetera), ma abbia sviato la riflessione dall’analisi del pensiero fondata sulla realtà materiale. In un certo senso i risultati finali danno ragione alla considerazione di Hegel sulla matematica, incapace di superare il passaggio dalla quantità alla qualità e raggiungere la qualità. L’algoritmo rimane tanto misterioso quanto incapace di dare conto e raggiungere i nessi più profondi della realtà. Quale il senso delle cose, l’origine del linguaggio, il rapporto fra mente e pensiero, il rapporto fra intuizione e ragione, eccetera.

La natura interna rimane pressoché inesplorabile con i criteri del lomat che riesce solo a descrivere e a dare conto delle strutture, a volte delle funzioni, ma mai del senso e della complessità della natura nel suo insieme. È come se la matematica rimanesse legata, non riuscisse a liberarsi delle sue origine magiche e misteriche. Quest’uomo che vuol sapere a tutti i costi come e perché sbaglia, che rifiuta l’ errore e lo tiene fuori dal reale, non ha capito, non riesce, non vuole capire come l’errore sia connaturato, sia un momento del processo di formazione della materia. L’errore in altri termini non esiste. In natura equivale a un tentativo. Esiste solo come rapporto della realtà con l’uomo, è la forma presa dai limiti dell’uomo e dalla sua ansia di superare questi limiti. Sbagliare significa soltanto che il tentativo non è riuscito, che il fenomeno in esame va studiato più a fondo, possibilità fornita dal tentativo mancato, che il rapporto con la realtà analizzata va portato avanti con altri mezzi (da fpg 14 apr 03).

 

[matematica e realtà]

Concetti centrali della matematica sono  l’unità, le volte, il rapporto.  L’«universalità» delle sue operazioni può dipendere dal fatto che pur mutando l’unità e le volte ma rimanendo fermo il rapporto quantitativo fra di esse, il rapporto non cambia.  Allo stesso modo questo rapporto non cambia se si pongono in relazione oggetti diversi ma equivalenti.

Ora, per cominciare, una equivalenza costante gli oggetti la hanno ed è quella di occupare tutti un certo spazio.  L’occupazione di questo spazio – tralasciando per il momento la questione della densità dell’oggetto – è quantizzabile.  Di nuovo dunque, l’unità, le volte e il rapporto (ma anche rapporto di rapporti) hanno una relazione costante, permanente con la realtà, che è una realtà di oggetti.  Una stella è un oggetto. Dato anche il caso che questi oggetti si dissolvano nell’energia pura, questa occupa a sua volta uno spazio - tempo, possiede in altri termini una sua estensione una sua massa, oppure si diffonde per radiazioni, e altro.  Il concetto di quantità rimane, sia esso una quantità statica puramente spaziale oppure una quantità dinamica spazio temporale oppure una quantità della densità (quantità delle radiazioni, quantità d’acqua).

In questo senso la matematica è applicabile a qualsiasi oggetto che sia quantizzabile e misurabile.  Qui, tuttavia, nasce il suo problema.  Noi non conosciamo quantità in sé indifferenti.  Anche se il numero è un concetto in sé indifferente, privo cioè di per sé di qualità, tuttavia esso nasce come una qualità mancante.  Nel concreto una quantità con la sua mancanza di qualità è una qualità della realtà, così come lo è la qualità in sé.  Non a caso ciò che conosciamo sono quantità di qualità, cioè quantità di oggetti determinati, di fenomeni determinati, dove la determinazione è data da una determinata qualità.

Ora la matematica ha un senso quando pone in rapporto oggetti con qualità omogenee, oggetti che nel «processo quantitativo», nel rapporto cioè fra le quantità di queste qualità omogenee, non mutino in qualche modo di qualità.  Il processo matematico, compreso ogni tipo di algoritmo, in altre parole, non avverte il mutamento di qualità che avviene nel processo reale delle quantità considerate se questo mutamento non è stato già posto nello stesso algoritmo.  L’algoritmo è una macchina pensante che potenzia di per sé l’analisi umana, ma è in sé indifferente alla qualità.  Può soltanto quantificarla, può indicare i limiti di un rapporto rivelandone, per esempio, le proporzioni, ma è incapace di rilevare il momento in cui queste proporzioni combinate insieme danno vita a qualcosa di nuovo, quando e se vi danno vita (*).

 

[i paradossi della logica matematica]

I paradossi della logica e della matematica dipendono spesso dalla separazione arbitraria dei momenti del processo esaminato.  Nei processi quantitativi se teniamo separati i momenti della continuità da quelli della discrezione è fatale cadere nella contraddizione.  La contraddizione consiste nel voler rendere autonomi i momenti del processo scambiando ogni momento per l’essenza stessa del processo.  Da un lato, per esempio, il «processo del continuo», dall’altro il «processo del discreto» cioè dell’unità semplice a se stante che probabilmente non esiste e che comunque non conosciamo.  Il voler separare la continuità dalla discrezione porta anche a tenere separati il semplice dal composto (cfr SDL/1° Nota II/202 & 213).

 

[«il fine del fine è il fine» e pensiero matematico]

Il problema del lomat è di rimanere ancorati al principio di non contraddizione. Giudicare la contraddizione un non senso. Inconcepibile per i lomat il concetto «il fine del fine è il fine». Cantor meditava sull'assoluto. Convinto che non era nel destino degli uomini raggiungerlo.  Essendo l'assoluto attributo di dio. Russell un po' più laicamente era preoccupato dalle contraddizioni e dai paradossi che nascevano dall'assiomatizzazione della logica e del linguaggio lomat.

Al contrario, penso che «il fine del fine è il fine» tragga origine dal concetto «il fine della vita è la vita». Intuitivo e razionale nel medesimo tempo, ricavato dall'unica realtà al momento oggettivamente conosciuta e riscontrabile quale è la realtà dell'esistenza del genere umano (da fpg 8.7.08).

 

[logica matematica e logica dell’autocoscienza] 

Solo la matematica, i numeri, forniscono il senso dell'oggettività. Sottraggono l'oggetto alla «sensazione» in sé imprecisa, fluttuante, soggettiva e alla pura riflessione logica che fonda la propria certezza solo nell'autocoscienza del soggetto.

Penso che la sintesi fra la fondatezza logica dell'autocoscienza e la fondatezza a sua volta logica della matematica debba ancora raggiungersi. Poiché solo la logica dell'autocoscienza è in grado di raggiungere la qualità e il senso dell'oggetto. A cogliere i nessi che tengono insieme le forze della natura. La matematica ne è del tutto incapace. (da fpg 20 feb. 05).

 

Note

(*)

[un programma di analisi quantitativa]

Analisi della differenza fra una quantità di qualità che si trasforma in qualità nuova e una quantità di quantità che rimane ferma a se stessa. Per esempio, la serie.

 

[analisi dei rapporti fra quantità fisiche] 

Analisi dei rapporti fra quantità chimiche e delle nuove affinità fra qualità che danno vita a qualità nuove.

Analisi dei rapporti biologici.

Analisi dei rapporti quantitativi fra le specie e qualità, tipo di qualità cui danno vita.

Analisi dei rapporti quantitativi di rapporti umani (Uomo in sé, aumento della popolazione, uomo - natura, uomo - uomo, uomo per sé, società, individualità).

 

COS/73/ Equazioni semplici generano soluzioni ampie e complesse. Corrispondenza fra queste equazioni e strutture evolutive del mondo reale (dal comportamento delle popolazioni di insetti, ai movimenti del pendolo, ai processi atmosferici).  La matematica, dunque, rifletterebbe la dimensione spazio temporale dell’universo.  O parzialmente matematica.  Comunque anche negli esempi del COS le soluzioni dei processi rimangono legati al rapporto unità-volte.

 

(continua in La forza del numero)

 

 

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“Pensiero matematico” [@PM]

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